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Methodik

Regressionsanalyse

Regressionsanalyse – Lineare, multiple lineare, logistische, multinominalie

Die Regressionsanalyse ist ein statistisches Analyseverfahren zur Untersuchung von Zusammenhängen zwischen mehreren Variablen. Es kann festgestellt werden, ob und in welchem Ausmaß eine unabhängige Variable eine abhängige Variable beeinflusst.

Auf diese Weise unterstützt die Regressionsanalyse die Entscheidungsfindung und ermöglicht es dir als Forscher, präzise Vorhersagen zu treffen, die einen tieferen Einblick in die Realität bieten.

In diesem 1a-Studi Artikel lernst du die verschiedenen Arten einer Regression sowie deren Anwendung am Regressionsmodell kennen.

 
Ziele & Durchführung

Was ist eine Regression?

Der Kern der wissenschaftlichen Arbeit zur Regressionsanalyse ist die Berechnung der Regression mittels einer Regressionsgeraden bzw. -funktion. Die Regressionsanalyse zeigt den gerichteten linearen Zusammenhang zwischen den untersuchten Variablen auf.

Hierzu wird der Wert der unabhängigen Variable verändert, und die Folgen für die abhängige Variable werden gemessen.

Je nach Art der wissenschaftlichen Arbeit zur Regressionsanalyse kann eine festgelegte Anzahl von möglichen Merkmalsausprägungen der unabhängigen Variable untersucht werden. Die Merkmalsausprägungen beschreiben den bestimmten Wert oder Zustand, den die unabhängige Variable annehmen kann.

Wird z. B. der Einfluss von Alter, Bildung und Beruf auf das Einkommen untersucht, so sind die Merkmalsausprägungen jedes Probanden das konkrete Alter, die Bildung und der Beruf.

Ziele der Regressionsanalyse

1. Herstellung von kausalen Zusammenhängen

Untersuchen, ob und in welchem Ausmaß ein Zusammenhang zwischen zwei oder mehr Variablen besteht.

2. Vorhersage von Veränderungen

Ermitteln, wie sich die abhängige Variable verändert, wenn eine der unabhängigen Variablen angepasst wird.

3. Bestimmung von Werten zu einem bestimmten Zeitpunkt

Feststellen, welchen Wert die abhängige Variable annimmt, nachdem die unabhängige Variable zu einem bestimmten Zeitpunkt neu festgelegt wurde.

Voraussetzung für die lineare Regressionsanalyse

1. Linearer Zusammenhang zwischen den Variablen

Um bei einer wissenschaftlichen Arbeit zur linearen Regressionsanalyse belastbare Ergebnisse zu erhalten, müssen die folgenden Modellannahmen erfüllt sein:

2. Metrisches Skalenniveau

Sowohl die abhängige Variable (AV) als auch die unabhängige Variable (UV) sollten auf metrischem Skalenniveau vorliegen, d. h. konkrete Zahlenwerte besitzen.

3. Abweichungen (Residuen)

Es sollten keine untereinander korrelierten Muster aufweisen und gleichmäßig über den gesamten Wertebereich der abhängigen Variable streuen.

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Durchführung der Regressionsanalyse:

1. Datenaufbereitung:

Im ersten Schritt überprüfst du deinen Datensatz, bevor du mit der Regressionsanalyse beginnst. Vollständige und genaue Datensätze sind entscheidend, um gültige Ergebnisse zu erhalten, die die Entwicklungen und Trends der Variablen genau beschreiben.

Dies kann erreicht werden durch:

  • Überschlagsrechnungen und Plausibilitätsprüfungen.
  • Ergänzung von fehlenden Daten mit Missing-Date-Techniken
  • Grafische Darstellung der Daten bei Bedarf
  • Übertragung der Daten in das für das Regressionsmodell erforderliche Format

2. Modellanpassung

Im nächsten Schritt wählst du das zu schätzende Modell aus und wendest die Schätzmethode an, um die Parameter zu bestimmen. Achte darauf, dass du genügend Datenpunkte zur Verfügung hast, um genaue Ergebnisse zu bekommen.

Um Abweichungen, die die Ergebnisse verzerren, zu minimieren, werden in der Regressionsanalyse Fehlerkorrekturen verwendet. Diese können durch das verwendete Modell vorgegeben werden.

Beispielsweise wird bei der linearen Regression eine lineare Funktion verwendet, um Fehlerwerte zu berechnen, die bereits im Modell berücksichtigt sind.

3. Validierung des Modells

Im dritten Schritt erfolgt die Validierung deines Regressionsmodells. Diese stellt sicher, dass dein Modell den untersuchten Zusammenhang gut erfasst.

Diese erfolgt, indem überprüft wird:

  • ob das Modell die Beziehung zwischen unabhängiger und abhängiger Variable angemessen erfasst und
  • wie präzise diese Erfassung ist

Zu diesem Zweck kann eine Residuenanalyse durchgeführt werden, um sicherzustellen, dass es keine systematischen Muster im Datensatz gibt, die auf nicht berücksichtigte Variablen hindeuten. Darüber hinaus kann der Datensatz in diesem Schritt u. a. auf Überanpassung oder auf Ausreißer und einflussreiche Datenpunkte untersucht werden.

4. Vorhersage von Werten

Erfüllt das Modell alle Anforderungen, kann es im nächsten und letzten Schritte für die Vorhersage von Werten genutzt werden.

Es wird zwischen zwei Prognosearten unterschieden:

  • Interpolation: Vorhersagen innerhalb der Datensätze
  • Extrapolation: Das Treffen von Aussagen, die über die vorhandenen Datensätze hinausgehen. Sie erfordert eine genaue Überprüfung der prognostizierten Daten
Arten von Regressionen

Regressionsmodell

Die Auswahl der passenden Form der Regressionsanalyse beeinflusst die Qualität deiner Ergebnisse maßgeblich und hängt stark von deiner Datenart und Forschungsfrage ab.

Im Folgenden findest du eine Zusammenstellung unterschiedlicher Modelle:

1. Einfache lineare Regression

Die einfache lineare Regression untersucht die Beziehung zwischen einer unabhängigen Variablen und einer abhängigen Variablen. Diese Beziehung ist linear, d. h. die abhängige Variable ändert sich proportional zur unabhängigen Variablen.

Diese wird verwendet, um den Zusammenhang zwischen zwei Variablen zu quantifizieren und zu interpretieren, wie beispielsweise die Untersuchung des linearen Zusammenhangs zwischen der Anzahl der Arbeitsstunden und dem erzielten Einkommen.

2. Multiple lineare Regression

Bei der multiplen linearen Regressionsanalyse werden mehrere unabhängige Variablen verwendet, um den Zusammenhang mit der abhängigen Variablen zu erklären.

Diese wird verwendet, wenn …

  • der Zusammenhang zwischen der abhängigen Variable und den unabhängigen Variablen nicht linear, sondern komplexer ist.
  • der Einfluss von mehrerer potenzieller Einflussfaktoren gewichtet werden soll.

Beispiel:
Analyse des Einflusses von Werbeausgaben, Preis und Markenimage auf den Produktabsatz

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3. Logistische Regression

Die logistische Regression ermöglicht die Modellierung der Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis eintritt, insbesondere dann, wenn die Voraussetzungen für die klassische lineare Regression nicht erfüllt sind.

Die logistische Regression wird verwendet, wenn die abhängige Variable kategorial ist und nur zwei oder endlich viele Werte annehmen kann. Dies ist besonders relevant, wenn das Interesse darin besteht, die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines bestimmten Ereignisses zu modellieren.

Beispiel:
Prognose der Wahrscheinlichkeit einer Krankheit aufgrund von diagnostischen Tests

4. Multinominale logistische Regression

Die multinominale logistische Regression ist eine statistische Methode, die verwendet wird, wenn die abhängige Variable kategorial ist und mehr als zwei mögliche Kategorien hat.

Im Gegensatz zur binären logistischen Regression, die für zwei Kategorien geeignet ist, ermöglicht die multinominale logistische Regression die Modellierung und Vorhersage von Wahrscheinlichkeiten für mehrere Kategorien.

Dieses Modell ist gut geeignet, wenn die abhängige Variable nicht binär, sondern in mehrere Kategorien unterteilt ist, wie beispielsweise bei der Einteilung von Personen in verschiedene Einkommensgruppen auf der Grundlage mehrerer Faktoren.

Vergleich der Regressionsarten

Eigenschaft Einfache lineare Regression Multiple lineare Regression Logistische Regression Multinominale logistische Regression
Anzahl der AV 1 1 Mindestens 2 Mindestens 3
Anzahl der UV 1 Mindestens 2 Mindestens 2 Mindestens 2
Art der AV - metrisch - dichotom
intervallskaliert
diskret
Art der UV - metrisch metrisch
ordinal
dichotom
beliebig
Ziel Vorhersage der Beziehung zwischen AV und UV Vorhersage der Beziehung zwischen mehreren UV auf eine AV Vorhersage der Wahrscheinlichkeit für ein binäres Ereignis Vorhersage von Zusammenhängen zwischen abhängiger und kategorialer Variable und mehreren unabhängigen Variablen
Einfache lineare RA

Einfache lineare Regression

Die einfache lineare Regression wird angewandt, wenn Forscher den Einfluss einer einzelnen Variable auf eine Zielgröße verstehen möchten, ohne die Komplexität mehrerer Variablen in Betracht zu ziehen.

Diese lässt sich anhand des folgenden Modells modellieren:

Formel
  • Y: abhängige Variable, die vorhergesagt werden soll
  • ß₀: der y-Achsenabschnitt, der den Wert von Y angibt, wenn X = 0 ist.
  • ß₁: der Regressionskoeffizient für X
  • X: die unabhängige Variable
  • Ei: Fehlerterm, der die Abweichungen zwischen den gemessenen Werten von Y und den prognostizierten Werten angibt.

Die einfache lineare Regression versucht die treffendste Schätzung von ß₀ und ß₁ zu ermitteln, um die Beziehung zwischen den Variablen zu bestimmen.

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Regressionsanalyse Beispiel

In deiner Hausarbeit möchtest du verstehen, wie sich die Anzahl der Stunden, die jemand für das Studium aufwendet (unabhängige Variable), auf die Note in einem Kurs (abhängige Variable) auswirkt. Dafür sammelst du Daten von verschiedenen Studenten und analysierst diese mit einer einfachen linearen Regressionsgleichung:

Formel

Dabei sind;

  • Y die Kursnote
  • X Anzahl der Stunden, die zum Studieren verwendet wurden
  • ß₀ der durchschnittliche Notenwert, der ohne Studium erreicht wurde
  • ß₁ gibt an, wie sich die Note ändert, wenn die Anzahl der Studienstunden um eine erhöht wird
  • u repräsentiert den Einfluss, der durch andere Variablen besteht, die die Note beeinflussen können (z. B. Ablenkung). In unserer Untersuchung werden diese nicht beachtet.

Die Regressionsgleichung könnte so aussehen:

Formel

Die Interpretation der Ergebnisse zeigt, dass der durchschnittliche Notenwert ohne Studienzeit 75 beträgt. Der Koeffizient ß₁ von 2 bedeutet, dass der Notenwert mit jeder zusätzlichen Studienstunde die Note um 2 Punkte steigt.

Quadratische RA

Quadratische Regression

Bilden die erhobenen Datenpunkte keine Gerade wie bei der linearen Regression, sondern eine Parabel mit einer Symmetrieachse parallel zur y-Achse, so ist das Modell der quadratischen Regression geeignet.

Der Zusammenhang zwischen unabhängiger und abhängiger Variable ist in diesem Fall nicht linear. Eine Annäherung des Zusammenhangs ist mit quadratischen Termen wie folgt möglich:

Formel

Die Methode der quadratischen Regression wird verwendet, um die besten passenden Werte für a, ß₁ und ß₂ zu finden, die die Summe der quadrierten Abweichungen (Residuen) zwischen den beobachteten und den vorhergesagten Werten minimieren.

Dazu wird häufig die Methode der kleinsten Quadrate verwendet, bei der aus einer Datenpunktewolke eine Kurve ermittelt wird, die möglichst nahe an den vorhandenen Datenpunkten liegt.

Regressionsgleichung

Regressionsgleichung

Die Regressionsgleichung für eine einfache Regression lautet:

Formel

Dabei ist Y der Wert abhängige Variable und x der Wert der unabhängige Variable.

Letztere wird durch den Regressionskoeffizienten ß bestimmt. ß drückt die Steigung der Regressionsgeraden aus. Sie gibt die Änderung der abhängigen Variablen bei Änderung der unabhängigen Variable an. Ein größerer Zahlenwert von ß bedeutet einen größeren Einfluss der unabhängigen Variablen auf die abhängige Variable.

Für die Schätzung der Regressionskoeffizienten eignet sich die Methode der kleinsten Quadrate, die Summe der quadrierten Residuen minimiert werden.

Die Regressionskonstante ß₀ stellt den Wert von AV dar, wenn UV den Wert Null hat. Diese sollte nur dann inhaltlich interpretiert werden, wenn die UV tatsächlich Null sein kann.

a definiert den Ausgangspunkt der Regressionsanalyse. u beschreibt den Fehlerwert, d. h. den Effekt, der nicht durch die UV erklärt werden kann.

Interpretation der Regressionsgeraden

Die Regressionskoeffizienten werden folgendermaßen interpretiert:

„Wenn die unabhängige Variable X um eins erhöht wird, wird eine Änderung der abhängigen Variable y um β Einheiten beobachtet, vorausgesetzt, dass alle anderen unabhängigen Variablen konstant bleiben.“

Regressionsgeraden einer multiplen Regressionsanalyse:

Bei einer multiplen Regressionsgleichung wird für jede unabhängige Variable ein weiterer Regressionskoeffizient hinzugefügt:

Formel

So kann der Einfluss mehrerer unabhängiger Variablen in einer linearen Funktion untersucht werden.

Häufige Fragen & Antworten

Du hast noch weitere Fragen zum Thema Methodik in wissenschaftlichen Arbeiten, die du nicht in diesem Artikel beantwortet bekommen hast? Dann recherchiere weiter in der 1a-Studi Akademie.

Regression ermöglicht es dir, Zusammenhänge zwischen Variablen zu verstehen. Du untersuchst, wie eine abhängige Variable sich ändert, wenn eine oder mehrere unabhängige Variablen variieren. Es geht darum, Vorhersagemodelle zu erstellen, die zeigen, wie bestimmte Faktoren andere beeinflussen.
Lineare Regression ist ein Verfahren, bei dem du eine gerade Linie findest, die am besten durch deine Datenpunkte passt. Diese Linie zeigt, wie eine unabhängige Variable die abhängige Variable beeinflusst. Es geht um die Beziehung zwischen zwei Variablen, ausgedrückt durch eine Geradengleichung.
Regressionsanalyse ist eine statistische Methode, mit der du den Einfluss einer oder mehrerer unabhängiger Variablen auf eine abhängige Variable untersuchst. Sie hilft dir, Muster zu erkennen, Beziehungen zu verstehen und Vorhersagen zu treffen.
Eine Regressionsanalyse führst du durch, wenn du verstehen möchtest, wie verschiedene Faktoren (unabhängige Variablen) eine bestimmte Auswirkung (abhängige Variable) beeinflussen. Diese ist besonders nützlich, um kausale Beziehungen zu untersuchen oder Vorhersagemodelle zu erstellen.
Eine Regressionsanalyse ist signifikant, wenn die Ergebnisse statistisch bedeutsam sind. Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit, dass der beobachtete Effekt zufällig ist, ist sehr gering. Dies wird durch Signifikanztests wie den t-Test für die Regressionskoeffizienten bestimmt.
Logarithmieren in der Regressionsanalyse ist sinnvoll, wenn die Beziehung zwischen den Variablen exponentiell ist oder wenn die Daten eine starke Rechtsschiefe aufweisen. Es hilft, nicht-lineare Beziehungen in eine lineare Form zu transformieren.
Die Regressionsanalyse ist sinnvoll, wenn du die Art der Beziehung zwischen Variablen verstehen und Vorhersagen machen möchtest. Während die Korrelation nur die Stärke und Richtung eines Zusammenhangs zeigt, ermöglicht die Regression das Verständnis von Ursache und Wirkung.
T-Tests verwendest du, wenn du die Mittelwerte zweier Gruppen vergleichen möchtest. Die Regressionsanalyse hingegen setzt du ein, wenn du die Beziehung zwischen einer oder mehreren unabhängigen und einer abhängigen Variable untersuchen möchtest. Beide Methoden haben unterschiedliche Anwendungsbereiche.
Varianzanalyse (ANOVA) verwendest du, um Mittelwertunterschiede zwischen mehr als zwei Gruppen zu testen. Regressionsanalyse hingegen hilft dir, die Beziehung zwischen unabhängigen und abhängigen Variablen zu verstehen und Vorhersagen zu treffen. Beide haben unterschiedliche Fokusse und Einsatzgebiete.
Kontrollvariablen in der Regressionsanalyse helfen dir, Verzerrungen zu vermeiden und genauere Ergebnisse zu erhalten. Sie kontrollieren den Einfluss anderer Faktoren, die sonst deine Hauptergebnisse beeinflussen könnten, und ermöglichen so eine klarere Interpretation der Beziehungen zwischen den Hauptvariablen.
R^2, das Bestimmtheitsmaß, zeigt dir, wie gut dein Regressionsmodell die Variation der abhängigen Variable erklärt. Ein höheres R^2 bedeutet, dass dein Modell einen größeren Anteil der Varianz der abhängigen Variable durch die unabhängigen Variablen erklären kann.
Der Intercept (Achsenabschnitt) in der Regressionsanalyse ist der Punkt, an dem die Regressionslinie die Y-Achse schneidet. Dieser repräsentiert den erwarteten Wert der abhängigen Variable, wenn alle unabhängigen Variablen null sind.
Die abhängige Variable in der Regressionsanalyse ist jene, deren Veränderungen du untersuchst. Sie ist die Variable, die du zu erklären oder vorherzusagen versuchst, basierend auf den Veränderungen einer oder mehrerer unabhängiger Variablen.
Eine hierarchische Regressionsanalyse ist eine Methode, bei der du Variablen in vordefinierten Schritten in dein Modell einfügst. Dies ermöglicht es dir, den zusätzlichen Erklärungswert jeder Variablengruppe zu bewerten, um die Wichtigkeit und den Einfluss jeder Variablen auf die abhängige Variable zu verstehen.
In der Regressionsanalyse sind Zufallselemente die unerklärte Varianz und die Residuen – die Unterschiede zwischen den beobachteten und durch das Modell vorhergesagten Werten. Diese Zufallskomponenten reflektieren die Unsicherheit oder das, was durch das Modell nicht erklärt wird.
Standardisierte Beta-Werte in der Regressionsanalyse sind Koeffizienten, die anzeigen, wie viele Standardabweichungen die abhängige Variable sich ändert, wenn die unabhängige Variable um eine Standardabweichung verändert wird. Sie ermöglichen den Vergleich der Stärke des Einflusses verschiedener Variablen im Modell.
Eine Standardabweichung kleiner als 1 in der Regressionsanalyse ist nicht grundsätzlich problematisch. Es hängt von deinen Daten ab. Wichtig ist, dass die Annahmen der Regression (wie Homoskedastizität, Normalverteilung der Residuen) erfüllt sind. Bei Bedenken solltest du die Daten und das Modell genauer untersuchen.
Wenn Varianzhomogenität (Homoskedastizität) nicht gegeben ist, kannst du robuste Standardfehler verwenden oder alternative Verfahren wie gewichtete kleinste Quadrate (WLS) in Betracht ziehen. Diese Methoden helfen, die Auswirkungen von Heteroskedastizität zu mindern.
Die Konstante (Intercept) in der Regressionsanalyse zeigt den erwarteten Wert der abhängigen Variable, wenn alle unabhängigen Variablen null sind. Sie ist ein wichtiger Bestandteil des Modells, da sie den Basiswert der abhängigen Variable angibt.
Für eine CAPM-Regressionsanalyse benötigst du Daten über die Renditen eines Wertpapiers und die Renditen eines Vergleichsindex (Marktportfolio) über einen bestimmten Zeitraum. Diese Daten helfen dir, die Beziehung zwischen der Wertpapierrendite und der Marktrendite zu untersuchen.
Bei der Regressionsanalyse werden häufig Effektstärken wie Beta-Koeffizienten (standardisiert oder nicht) und das R^2-Maß berichtet. Diese Größen geben an, wie stark die Beziehung zwischen den Variablen ist und wie gut das Modell die Daten erklärt.
Vor der Durchführung einer Regressionsanalyse solltest du mehrere Tests durchführen. Dazu gehört der Test auf Linearität, um zu prüfen, ob die Beziehung zwischen den Variablen linear ist. Der Test auf Multikollinearität prüft, ob die unabhängigen Variablen stark korreliert sind, was die Ergebnisse verzerren kann. Des Weiteren ist der Test auf Homoskedastizität wichtig, um sicherzustellen, dass die Varianz der Residuen konstant ist. Schließlich solltest du auch auf Normalverteilung der Residuen testen, da viele Regressionsanalysen dies voraussetzen.
Probleme bei der linearen Regressionsanalyse können Nichtlinearität, Multikollinearität, Heteroskedastizität (uneinheitliche Varianzen der Residuen), und Autokorrelation umfassen. Ausreißer und einflussreiche Beobachtungen können die Ergebnisse verzerren. Eine fehlerhafte Modellspezifikation, durch Weglassen relevanter oder Einbeziehen irrelevanter Variablen, kann ebenfalls zu ungenauen Ergebnissen führen.
In der Regressionsanalyse werden für die abhängige Variable meist metrische Daten verwendet (intervall- oder verhältnisskaliert). Unabhängige Variablen können metrisch, nominal oder ordinal sein. Bei nominalen und ordinalen Daten werden häufig Dummy-Variablen oder Transformationen eingesetzt. Die korrekte Codierung dieser Variablen ist entscheidend für aussagekräftige Ergebnisse.
Das Bestimmtheitsmaß R² zeigt an, wie viel Varianz der abhängigen Variable durch die unabhängigen Variablen erklärt wird. Bei Fragebogenanalysen ist ein höheres R² wünschenswert, aber es gibt keinen festen Schwellenwert. Ein R² von 0,3 oder höher wird oft als akzeptabel angesehen, aber auch niedrigere Werte können je nach Forschungskontext relevant sein.
ANOVA (Analyse der Varianz) und Regressionsanalyse sind verwandt. ANOVA testet Unterschiede zwischen Gruppenmittelwerten und kann als spezieller Fall der Regression betrachtet werden. Bei einer ANOVA mit einem kategorialen Prädiktor und einer kontinuierlichen abhängigen Variablen entspricht dies einer linearen Regression. Beide Methoden basieren auf Varianzzerlegung und Hypothesentests.
Der Korrelationskoeffizient misst die Stärke und Richtung der Beziehung zwischen zwei Variablen. Die Regressionsanalyse quantifiziert und modelliert diese Beziehung für Vorhersagen. Während die Korrelation die Beziehung zwischen zwei Variablen zeigt, kann die Regression den Einfluss mehrerer Variablen auf eine abhängige Variable abbilden und ist somit komplexer.
Die benötigte Datenmenge für eine Regressionsanalyse hängt von verschiedenen Faktoren ab, einschließlich der Anzahl der Prädiktoren und der Komplexität des Modells. Generell gilt: Je mehr Daten, desto besser. Für eine verlässliche Analyse sollten ausreichend Daten vorhanden sein, um alle Variablen und ihre Interaktionen zu erfassen und um robuste, generalisierbare Ergebnisse zu erzielen.
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